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    已知函数f（x）定义在自然数集上，且对任意x∈N*都有f（x）=f（x-1）+f（x+1），若f（1）=1999，求f（1999）的值．
    分析：要求f（1999）的值，我们肯定要利用函数的周期性，故关键我们要探究函数的周期，由f（x）=f（x-1）+f（x+1），变形后得：f（x+1）=f（x）-f（x-1），则f（x+6）=f（x+5）-f（x+4）=f（x+4）-f（x+3）-f（x+4）=-f（x+3）=-（f（x+2）-f（x+1））=-（f（x+1）-f（x）-f（x+1））=f（x），即函数的最小正周期为T，由此易得f（1999）的值．
    解答：解：∵f（x）=f（x-1）+f（x+1），
    ∴f（x+1）=f（x）-f（x-1），
    ∴f（x+6）=f（x+5）-f（x+4）
    =f（x+4）-f（x+3）-f（x+4）
    =-f（x+3）
    =-（f（x+2）-f（x+1））
    =-（f（x+1）-f（x）-f（x+1））
    =f（x）
    即f（x）为周期为6的周期函数
    则f（1999）=f（3×666+1）=f（1）=1999
    故答案为：1999
    点评：我们要求抽象函数的函数值，而自变量均大时，一般我们要用到函数的周期性，求函数的最小正周期是解题的关键．
    练习册系列答案
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    已知函数f（x）定义在（-1，1）上，对于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(
    x+y
    1+xy
    )    ，且当x＜0时，f（x）＞0．
    （Ⅰ）验证函数f(x)=ln
    1-x
    1+x
    是否满足这些条件；
    （Ⅱ）判断这样的函数是否具有奇偶性和其单调性，并加以证明．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）定义在R上，并且对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且x≠y时，f（x）≠f（y），x＞0时，有f（x）＞0．
    （1）判断f（x）的奇偶性；
    （2）若f（1）=1，解关于x的不等式f(x)-f(
    1x-1
    )≥2    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2009•连云港二模）已知函数f（x）定义在正整数集上，且对于任意的正整数x，都有f（x+2）=2f（x+1）-f（x），且f（1）=2，f（3）=6，则f（2009）=
    4018
    4018
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f（
    1
    2
    ）=-1，且当x，y∈（-1，1）时，恒有f（x）-f（y）=f（
    x-y
    1-xy
    ），又数列{an}满足：a1=
    1
    2
    ，an+1=
    2an
    1+
    a
    2
    n
    ．
    （I）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数；
    （II）求f（an）关于n的函数解析式；
    （III）令g（n）=f（an）且数列{an}满足bn=
    1
    g(n)
    ，若对于任意n∈N+，都有b1+b2+…+bn＜t2-3t恒成立，求实数t的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）定义在R上，对任意的x∈R，f(x+1001)=
    2
    		f(x)
    +1
    ，已知f（11）=1，则f（2013）=
     
    ．

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