Question

已知曲线C：x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）当m为何值时，曲线C表示圆；
（2）若曲线C与直线x+2y-4=0交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值．

Answer 1

分析：（1）由二元二次方程表示圆的条件D²+E²-4F大于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围；
（2）设出曲线与直线的交点M和N的坐标，联立曲线C与直线的方程，消去y后得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，然后由OM与ON垂直得到直线OM与ON斜率的乘积为-1，即M和N横坐标之积与纵坐标之积的和为0，由直线方程化为横坐标的关系式，把表示出的两根之和与两根之积代入即可求出m的值．

解答：解：（1）由D²+E²-4F=4+16-4m=20-4m＞0，解得m＜5；     （4分）
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
联立直线x+2y-4=0与圆的方程x²+y²-2x-4y+m=0，
消去y，得：5x²-8x+4m-16=0，
由韦达定理得：x1+x2=

8

5

①，x1•x2=

4m-16

5

②，
又由x+2y-4=0得y=

1

2

(4-x)，
由OM⊥ON得x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x1x2+y1y2=x1x2+

1

4

(4-x1)•(4-x2)=

5

4

x1x2-(x1+x2)+4=0，
将①、②代入上式得 m=

8

5

，
检验知满足△＞0，故m=

8

5

为所求． （13分）

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，以及二元二次方程表示圆的条件，在解答直线与圆相交的问题时，常常设出交点坐标，联立直线与圆的方程，消去一个未知数后得到关于另外一个未知数的方程，利用韦达定理来解决问题．