Question

（2008•南汇区一模）已知函数f(x)=

1

1-x

+lg

1+x

1-x

（1）求函数f（x）的定义域，并判断它的单调性（不用证明）；
（2）若f（x）的反函数为f^-1（x），证明方程f^-1（x）=0有解，且有唯一解；
（3）解关于x的不等式f[x（x+1）]＞1．

Answer 1

分析：（1）让分母不为0且真数大于0求解即可．把f（x）分成两个函数，分别求单调性，再利用复合函数的单调性即可．
（2）令x=0，得f（0）=1．即x=0是方程f^-1（x）=0的一个解，再利用反证法证明f^-1（x）=0有且只有一个解；
（3）利用f（x）为定义在（-1，1）上的增函数，把f[x（x+1）]＞1=f（0）的符号“f”脱去，问题转化为二次不等式问题即可．

解答：解：（1）由

1+x

1-x

＞0，及1-x≠0，得：-1＜x＜1，
∴f（x）的定义域为（-1，1），…（2分）
由于y=lg

1+x

1-x

=lg(-1+

2

1-x

)和y=

1

1-x

在（-1，1）上都是增函数，
∴f（x）在定义域（-1，1）内是增函数．      …（4分）
（2）令x=0，得f（0）=1．即x=0是方程f^-1（x）=0的一个解…（7分）
设x₁≠0是f^-1（x）=0的另一解，则由反函数的定义知f（0）=x₁≠0，
这与f（0）=1矛盾，故f^-1（x）=0有且只有一个解．…（10分）
（3）由f[x（x+1）]＞1=f（0），且f（x）为定义在（-1，1）上的增函数，得0＜x（x+1）＜1，
解得-

1+ 5

2

＜x＜-1或0＜x＜

-1+ 5

2

，这也即为不等式f[x（x+1）]＞1的解．…（16分）

点评：本题综合考查了函数的定义域，单调性和互为反函数的两函数之间的关系，不等式的解法等基础知识．在求复合函数的单调性时，遵循的原则是单调性相同复合函数为增函数，单调性相反复合函数为减函数．