Question

抛物线在点，处的切线垂直相交于点，直线与椭圆相交于，两点．

（1）求抛物线的焦点与椭圆的左焦点的距离；
（2）设点到直线的距离为，试问：是否存在直线，使得，，成等比数列？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）;（2）不存在.

试题分析：（1）分别求出抛物线与椭圆的焦点，利用两点间距离公式求解；（2）设直线与抛物线相交于与椭圆相交于,,所以直线与抛物线方程联立，得到和然后利用,求出切线，的斜率，利用切线垂直，,解出m,然后分别设出过点的切线方程，求出交点的坐标，利用点到直线的距离公式求,直线与曲线相交的弦长公式求,若，，成等比数列，则,化简等式，通过看方程实根情况.
试题解析：（I）抛物线的焦点，               1分
椭圆的左焦点，           2分
则．                       3分
（II）设直线，，，，，
由，得，        4分
故，．
由，得，
故切线，的斜率分别为，，
再由，得，
即，
故，这说明直线过抛物线的焦点．       7分
由，得，
,即．     8分
于是点到直线的距离.    9分
由，得，     10分
从而，       11分
同理，．                  12分
若，，成等比数列，则，              13分
即，
化简整理，得，此方程无实根，
所以不存在直线，使得，，成等比数列．          15分