Question

7．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足（sinB-$\sqrt{3}$cosB）（sinC-$\sqrt{3}$cosC）=4cosBcosC．
（1）求角A的大小；
（2）若sinB=ρsinC，a=1，S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，求ρ的值．

Answer 1

分析 （1）由已知展开，由两角和与差的正弦函数公式，两角和的余弦公式化简即可解得tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，结合A的范围，即可求得A的值．
（2）由sinB=ρsinC，利用正弦定理可得：b=ρc①．由三角形面积公式化简可得bc=$\sqrt{3}$②，由余弦定理可解得：b²+c²=4③．由②③可解得：b，c的值，由①即可得解．

解答 解：（1）（sinB-$\sqrt{3}$cosB）（sinC-$\sqrt{3}$cosC）=4cosBcosC
⇒sinBsinC-$\sqrt{3}$sinBcosC-$\sqrt{3}$cosBsinC+3cosBcosC=4cosBcosC
⇒-$\sqrt{3}$sin（B+C）=cos（B+C）
⇒tan（B+C）=-tanA=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
⇒tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
由于0＜A＜π，可解得A=$\frac{π}{6}$．
（2）∵sinB=ρsinC，∴由正弦定理可得：b=ρc①．
∵S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bc×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，∴bc=$\sqrt{3}$②，
∵a=1，A=$\frac{π}{6}$，由余弦定理可得：1=b²+c²-2bc×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴解得：b²+c²=4③．
由②③可解得：b=$\frac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}+\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{2}$=$\sqrt{3}$，c=$\frac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{2}$=1，
由①可得：$ρ=\frac{b}{c}$=$\frac{\sqrt{3}}{1}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式，两角和的余弦公式的应用，考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基本知识的考查．