Question

【题目】如图，四边形为正方形，四边形为矩形，且平面与平面互相垂直．若多面体的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

设正方形的边长为a，矩形的高为b，则长为，由面面垂直的性质定理与线面垂直的判定定理可分别证得平面与平面，且由对称性以及棱锥的体积公式表示多面体的体积，进而得到，再由球体的表面积公式表示表面积，最后用基本不等式求得最值即可.

设正方形的边长为a，矩形的高为b，则长为，

因为正方形，则，设，又因为平面与平面互相垂直，平面，平面平面，

所以平面，故，

由题意可知，，则，即，

设矩形的对角线的交点为O，链接，可得，而平面，且平面与平面互相垂直，平面平面，所以平面，可得（R为外接球的半径），

所以，当且仅当时取等号，

故外接球的表面积为

故选：A