【题目】如图,在直四棱柱中,底面
为等腰梯形,
,
,
,
,
分别是
的中点.
(1)证明:直线平面
;
(2)求直线与面
所成角的大小;
(3)求二面角的平面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)(3)
【解析】
(1)取的中点
,证明
为平行四边形,且
,再由三角形中位线证明
,最后由线面平行的判定定理证明即可;
(2)作交
于点
,由线面垂直关系得到直线
与面
所成角为
,再根据
是正三角形求解即可;
(3)由(2)知,平面
,再证明
和
分别垂直于
,求出直线
与面
所成角为
,再求出
和
的长度即可求解.
(1)在直四棱柱中,取
的中点
,连接
,
,
,
因为,
,且
,所以
为平行四边形,所以
,
又因为分别是棱
的中点,
所以,所以
,
因为.所以
四点共面,
所以平面
,又因为
平面
,
所以直线平面
.
(2)因为,
,
是棱
的中点,
所以,
为正三角形,
取的中点
,则
,
又因为直四棱柱中,
平面
,所以
,
所以平面
,即直线
与面
所成角为
,
所以,即
,
所以直线与面
所成角为
.
(3)过在平面
内作
,垂足为
,连接
.
因为面
,即
,
且与
相交于点
,故
且
,
则为二面角
的平面角,
在正三角形中,
,
在中,
,
∵,∴
,
在中,
,
,
所以二面角的余弦值为
.
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【题目】已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx与g(x)=log4(a2x﹣a),其中f(x)是偶函数.
(1)求实数k的值;
(2)求函数g(x)的定义域;
(3)若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.
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【题目】已知下列命题:
①在线性回归模型中,相关指数越接近于1,表示回归效果越好;
②两个变量相关性越强,则相关系数r就越接近于1;
③在回归直线方程中,当解释变量
每增加一个单位时,预报变量
平均减少0.5个单位;
④两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好.
⑤回归直线恒过样本点的中心
,且至少过一个样本点;
⑥若的观测值满足
≥6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系,那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病;
⑦从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系,是指有5%的可能性使得推断出现错误. 其中正确命题的序号是__________.
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【题目】为了解甲、乙两个快递公司的工作状况,假设同一个公司快递员的工作状况基本相同,现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员,并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据,制表如图:
每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下:甲公司规定每件4.5元;乙公司规定每天35件以内(含35件)的部分每件4元,超出35件的部分每件7元.
(1)根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数;
(2)为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况,从这10天中随机抽取1天,他所得的劳务费记为X(单位:元),求X的分布列和数学期望;
(3)根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.
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【题目】某机构对某市工薪阶层的收入情况与超前消费行为进行调查,随机抽查了200人,将他们的月收入(单位:百元)频数分布及超前消费的认同人数整理得到如下表格:
月收入(百元) | ||||||
频数 | 20 | 40 | 60 | 40 | 20 | 20 |
认同超前消费的人数 | 8 | 16 | 28 | 21 | 13 | 16 |
(1)根据以上统计数据填写下面列联表,并回答是否有99%的把握认为当月收入以8000元为分界点时,该市的工薪阶层对“超前消费”的态度有差异;
月收入不低于8000元 | 月收入低于8000元 | 总计 | |
认同 | |||
不认同 | |||
总计 |
(2)若从月收入在的被调查对象中随机选取2人进行调查,求至少有1个人不认同“超前消费”的概率.
参考公式:(其中
).
附表:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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