Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，设点F(0,p)（p＞0），直线l:y=-p，点P在直线l上移动，R是线段PF与x轴的交点, 过R、P分别作直线l₁、l₂，使l₁⊥PF，l₂⊥l ．
（Ⅰ）求动点Q的轨迹C的方程；
（Ⅱ）在直线l上任取一点M做曲线C的两条切线，设切点为A、B，求证：直线AB恒过一定点；
（Ⅲ）对（Ⅱ）求证：当直线MA,MF,MB的斜率存在时，直线MA,MF,MB的斜率的倒数成等差数列．

Answer 1

解：(Ⅰ)依题意知，点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP，
∴RQ是线段FP的垂直平分线．   
∴|PQ|=|QF|．
故动点Q的轨迹C是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为：．
（Ⅱ）设，两切点为，
由得，求导得．
∴两条切线方程为 ①  
②   
对于方程①，代入点M(m,-p)得，，
又∴
整理得：
同理对方程②有即x₁,x₂为方程的两根
.∴ ③   
设直线AB的斜率为k，
所以直线AB的方程为，
展开得：，
代入③得：
∴直线恒过定点(0.p).   
(Ⅲ) 证明：由（Ⅱ）的结论，设（0.p）， ， 且有，
   ∴               
∴
=                                                  
又∵，
所以即直线MA,MF,MB的斜率倒数成等差数列.