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(本题13分)已知函数
(Ⅰ)若,试判断并证明的单调性;
(Ⅱ)若函数上单调,且存在使成立,求的取值范围;
(Ⅲ)当时,求函数的最大值的表达式
(Ⅰ)用定义证明函数的单调性;(Ⅱ);(Ⅲ)

试题分析:(Ⅰ)当时,上单调递增           1分
证明:              1分

                               2分
上单调递增。  
(Ⅱ)当时,
由于


则当时,单调增;
时,单调减。
所以,当时,上单调增;                2分
又存在使成立
所以。              2分
综上,的取值范围为
(Ⅲ)当时,
由(Ⅰ)知在区间上单调递增,    1分
由(Ⅱ)知,①当时,上单调增,
②当时,上单调递增,在上单调递减,
又因为上是连续函数
所以,①当时,上单调增,则
②当时,上单调增,在上单调减,在上单调增,
2分
 
综上,的最大值的表达式。                 2分
点评:解决恒成立问题常用变量分离法,变量分离法主要通过两个基本思想解决恒成立问题, 思路1:上恒成立;思路2: 上恒成立。注意恒成立问题与存在性问题的区别。
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