试题分析:(Ⅰ)当
时,
在
上单调递增 1分
证明:
1分
则
2分
,
在
上单调递增。
(Ⅱ)当
时,
由于
则
则当
时,
,
单调增;
当
时,
,
单调减。
所以,当
时,
在
上单调增; 2分
又存在
使
成立
所以
。 2分
综上,
的取值范围为
。
(Ⅲ)当
时,
由(Ⅰ)知
在区间
上单调递增, 1分
由(Ⅱ)知,①当
时,
在
上单调增,
②当
时,
在
上单调递增,在
上单调递减,
又因为
在
上是连续函数
所以,①当
时,
在
上单调增,则
;
②当
时,
在
上单调增,在
上单调减,在
上单调增,
2分
则
综上,
的最大值的表达式
。 2分
点评:解决恒成立问题常用变量分离法,变量分离法主要通过两个基本思想解决恒成立问题, 思路1:
在
上恒成立
;思路2:
在
上恒成立
。注意恒成立问题与存在性问题的区别。