Question

已知奇函数f（x）的定义域为实数集，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，当0≤θ≤

π

2

时，是否存在这样的实数m，使f（4m-2mcosθ）-f（2sin²θ+2）＞f（0）对所有的θ∈[0，

π

2

]均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：由题意，f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，f（0）=0，从而条件可变为4m-2mcosθ＞2sin²θ+2．根据题意，0≤θ≤

π

2

时，0≤cosθ≤1，令t=cosθ∈[0，1]，则问题等价于t∈[0，1]时，t²-mt+（2m-2）＞0恒成立，求m的取值范围．令f（t）=t²-mt+（2m-2），此函数对应的抛物线开口向上，对称轴t=

m

2

，进行分类讨论：①当此抛物线对称轴t=

m

2

在区间[0，1]内时，m∈[0，2]，函数最小值（2m-2）-

m2

4

＞0即可；②当对称轴在（-∞，0）时，m＜0，只要f（0）＞0即可；③当对称轴在（1，+∞）时，m＞2，只要f（1）＞0即可，由此可求出m的取值范围

解答：解：由题意，函数f（x）的定义域为实数集
∴f（x）在（-∞，+∞）上连续
∵函数f（x）为奇函数，在[0，+∞）上是增函数，
故f（x）在（-∞，+∞）上为增函数
由f（0）=-f（-0），得f（0）=0
f（4m-2mcosθ）-f（2sin²θ+2）＞f（0）=0
移向变形得f（4m-2mcosθ）＞f（2sin²θ+2）
∴由f（x）（-∞，+∞）上连续且为增函数，得
4m-2mcosθ＞2sin²θ+2
∴2cos²θ-4-2mcosθ+4m＞0
cos²θ-mcosθ+（2m-2）＞0
根据题意，0≤θ≤

π

2

时，0≤cosθ≤1
方法（1）
令t=cosθ∈[0，1]
则问题等价于t∈[0，1]时，t²-mt+（2m-2）＞0恒成立，求m的取值范围
令f（t）=t²-mt+（2m-2），此函数对应的抛物线开口向上，对称轴t=

m

2

，
分类讨论：
①当此抛物线对称轴t=

m

2

在区间[0，1]内时，m∈[0，2]，
函数最小值（2m-2）-

m2

4

＞0即可，此时m²-8m+8＜0，
∴4-2

2

＜m≤2
②当对称轴在（-∞，0）时，m＜0，
只要f（0）＞0即可，此时2m-2＞0，推出m＞1，与m＜0矛盾，此情况不成立，舍去
③当对称轴在（1，+∞）时，m＞2，
只要f（1）＞0即可，此时1-m+2m-2=m-1＞0，推出m＞1，
∴m＞2
综上所述，m的取值范围是（4-2

2

，+∞）
方法（2）：参数分离法
由cos²θ-mcosθ+（2m-2）＞0，得cos²θ-2+m（2-cosθ）＞0，即m（2-cosθ）＞2-cos²θ
因为0≤cosθ≤1，所以m＞

2-cos2θ

2-cosθ

=

cos2θ-2

cosθ-2

．
因为

cos2θ-2

cosθ-2

=

(cosθ-2)2+4cosθ-6

cosθ-2

=

(cosθ-2)2+4(cosθ-2)+2

cosθ-2

=cosθ-2+

2

cosθ-2

+4，
因为0≤cosθ≤1，所以cosθ-2＜0，
所以原式=-[(2-cosθ)+

2

2-cosθ

]+4≤-2

(2-cosθ)? 2 2-cosθ

+4=4-2

2

，
当且仅当2-cosθ=

2

2-cosθ

，即（2-cosθ）²=2，2-cosθ=

2

，cosθ=2-

2

时取等号．
所以

cos2θ-2

cosθ-2

的最大值为4-2

2

，所以m＞4-2

2

．
所以m的取值范围是（4-2

2

，+∞）．

点评：本题将函数的奇偶性与函数的单调性融合一起，综合考查函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，解题时，合理转化，正确分类是关键．