Question

13．已知x满足不等式${log_{\frac{1}{2}}}{x^2}$≥${log_{\frac{1}{2}}}（3x-2）$，函数$f（x）=（{log_2}\frac{x}{4}）（{log_2}\frac{x}{2}）$．
（Ⅰ）求出x的取值范围；   
（Ⅱ）求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据对数函数的单调性和对数的定义即可得到关于x的不不等式组，解得即可，
（Ⅱ）根据对数的运算性质得到f（x）=log₂²x-3log₂x+2，再利用换元法，和二次函数的性质即可求出．

解答 解：（Ⅰ）不等式${log_{\frac{1}{2}}}{x^2}$≥${log_{\frac{1}{2}}}（3x-2）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3x-2＞0}\\{{x}^{2}≤3x-2}\\{x≠0}\end{array}\right.$，
解得1≤x≤2，
（Ⅱ）$f（x）=（{log_2}\frac{x}{4}）（{log_2}\frac{x}{2}）$=（log₂x-2）（log₂x-1）=log₂²x-3log₂x+2，
设log₂x=t，则0≤t≤1，
∴f（t）=t²-3t+2，其对称轴为x=$\frac{3}{2}$，
∴f（t）在[0，1]上单调递减，
∴f（t）_max=f（0）=2，f（t）_min=f（1）=1-3+2=0，
∴f（x）的值域为[0，2]．

点评 本题考查了函数与方程的关系，同时考查了换元法求函数的最值，属于基础题．