Question

8．设p：|4x-3|≤1；q：x²-（2a+1）x+a²+a≤0，若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．

Answer 1

分析 根据一元二次不等式的解法分别求出命题p和q，由p是q的充分不必要条件，可知p⇒q，从而求出a的范围：

解答 解：因为|4x-3|≤1，所以$\frac{1}{2}$≤x≤1，即p：$\frac{1}{2}$≤x≤1．
由x²-（2a+1）x+a²+a≤0，
得（x-a）[（x-（a+1）]≤0，
所以a≤x≤a+1，因为p是q的充分不必要条件，
所以p⇒q，q推不出p．
所以$\left\{\begin{array}{l}{a+1＞1}\\{a≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a+1≥1}\\{a＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$
解得0≤a≤$\frac{1}{2}$．
所以a的取值范围是[0，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查充分条件、必要条件和充要条件，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式组的解法，此题是一道基础题；