Question

3．求下列在直线l的方程
（1）过点A（0，2），它的倾斜角为正弦值是$\frac{3}{5}$；
（2）过点A（2，1），它的倾斜角是直线l₁：3x+4y+5=0的倾斜角的一半；
（3）过点A（2，1）和直线x-2y-3=0与2x-3y-2=0的交点．

Answer 1

分析 （1）根据同角的三角函数的关系求出斜率，再根据斜截式求出直线方程；
（2）求出3x+4y+5=0的倾斜角，利用二倍角公式求出过点A（2，1）的直线倾斜角以及斜率，利用点斜式求出直线方程；
（3）求出直线x-2y-3=0与2x-3y-2=0的交点，利用两点式求出直线方程即可．

解答 解：（1）设直线l的倾斜角为α，
则sinα=$\frac{3}{5}$，∴cosα=±$\sqrt{1{-sin}^{2}α}$=$\frac{4}{5}$，
tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=±$\frac{3}{4}$，
由斜截式得y=±$\frac{3}{4}$x+2，
即3x-4y+8=0或3x+4y-8=0．
（2）设直线l与l₁的倾斜角分别为α、β，则α=$\frac{β}{2}$，
因tanβ＜0，所以$\frac{π}{2}$＜β＜π，故$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{π}{2}$，所以tanα＞0．
又tanβ=-$\frac{3}{4}$，则-$\frac{3}{4}$=$\frac{2tanα}{1{-tan}^{2}α}$，解得tanα=3，或tanα=-$\frac{1}{3}$（舍去），
由点斜式得y-1=3（x-2），即3x-y-5=0．
（3）解方程组 $\left\{\begin{array}{l}{x-2y-3=0}\\{2x-3y-2=0}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{x=-5}\\{y=-4}\end{array}\right.$，
即两条直线的交点坐标为（-5，-4）．
由两点式得 $\frac{y-1}{-4-1}$=$\frac{x-2}{-5-2}$，即5x-7y-3=0．

点评 本题考查直线方程的求法，二倍角的正切函数的应用，考查计算能力．