Question

14．已知f（x）=（2x-3）ⁿ展开式的二项式系数和为64，且（2x-3）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a_n（x-1）ⁿ．
（1）求a₂的值；（用数字作答）
（2）求|a₀|+|a₁|+|a₂|+|a₃|+…|a_n|的值．（用数字作答）

Answer 1

分析 （1）根据（2x-3）ⁿ展开式的二项式系数和求出n的值，化（2x-3）⁶=[-1+2（x-1）]⁶，求出a₂的值；
（2）在（2x-3）⁶=[-1+2（x-1）]⁶=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₉（x-1）⁶中，令x=0即可求出|a₀|+|a₁|+|a₂|+|a₃|+…|a_n|的值．

解答 解：（1）f（x）=（2x-3）ⁿ展开式的二项式系数和为64，
∴2ⁿ=64，解得n=6；
∵（2x-3）⁶=[-1+2（x-1）]⁶=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₉（x-1）⁶，
∴a₂=${C}_{6}^{2}$•（-1）⁴•2²=60；
（2）在（2x-3）⁶=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₆（x-1）⁶中，
即[-1+2（x-1）]⁶=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₉（x-1）⁶，
令x=0，可得|a₀|+|a₁|+|a₂|+|a₃|+…|a_n|=（-1-2）⁶=729．

点评 本题考查了二项式定理以及二项展开式的通项公式应用问题，是基础题．