Question

5．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，短轴的一个端点到右焦点的距离是$\sqrt{3}$．
①求椭圆C的方程；
②直线y=x+1交椭圆于A、B两点，求弦 AB的长．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a，再由离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得b，进而得到椭圆方程；
（2）联立直线与椭圆方程，直线 方程代入椭圆方程，求出交点坐标，利用距离公式求解即可．

解答 解：（1）由题意可得a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，解得b=1，c=$\sqrt{2}$，
可得椭圆的方程为：$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$；
（2）直线l：y=x+1，
代入椭圆方程x²+3y²=3，
可得4x²+6x+3=3，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有x₁=0，x₂=-$\frac{3}{2}$，y₁=1，y₂=-$\frac{1}{2}$，
可得弦长|AB|=$\sqrt{（0+\frac{3}{2}）^{2}+（1+\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和a，b，c的关系，考查直线和椭圆方程联立，两点间距离公式的应用，考查运算能力，属于中档题．