Question

15．正四面体ABCD中各棱长为2，E为AC的中点，则BE与CD所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{6}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 根据E为AC的中点，取AD的中点F，可得CD∥EF，则BE与CD所成角为∠BEF．正四面体ABCD中各棱长为2，可得BF，BE，EF的长度，利用余弦定理求解即可．

解答 解：由题意，E为AC的中点，取AD的中点F，
可得CD∥EF，
则BE与CD所成角即可转化为∠BEF．
∵ABCD是正四面体，各棱长为2．
∴ABC是等边三角形，E是中点，BE⊥AC，
同理：BF⊥AD，∴BF=BE=$\sqrt{3}$．
∵CD∥EF，
∴EF=1．
那么cos∠BEF=$\frac{E{F}^{2}+B{E}^{2}-B{F}^{2}}{2EF•BE}=\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$．
即BE与CD所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故选A．

点评 本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．