Question

4．已知二次函数f（x）=x²+2ax+2a+1，若对任意的x∈[-1，1]都有f（x）≥1恒成立，求a的范围．

Answer 1

分析 法一：利用函数的对称轴与区间的关系，列出不等式组区间即可．
法二：利用恒成立分离a，通过x的范围讨论，转化为基本不等式区间最值，推出结果．

解答 （本小题满分12分）
解：法一：根据题意，得$\left\{\begin{array}{l}-a≤-1\\ f（-1）≥1\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}-1＜-a＜1\\ f（-a）≥1\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}-a≥1\\ f（1）≥1\end{array}\right.$，
解得a≥1或0≤a＜1．
∴a的范围为[0，+∞）．
法二：若对任意的有f（x）≥1恒成立，则2a（x+1）≥-x²对任意的恒成立，
当x=-1时，a∈R，当x≠-1时$2a≥\frac{{-{x^2}}}{x+1}$恒成立，
令$y=g（x）=\frac{{-{x^2}}}{x+1}$，x∈（-1，1]，
令t=x+1得：$y=-（t+\frac{1}{t}）+2，t∈（0，2]$，
易知 y_max=0，故2a≥0，
∴a的范围为[0，+∞）．

点评 本题考查函数恒成立，二次函数的性质的应用，基本不等式求解表达式的最值，考查转化思想以及分类讨论思想的应用．