Question

19．求函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x²-5x+4）的定义域和单调区间．

Answer 1

分析 根据对数函数的性质求出函数的定义域，函数y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x²-5x+4）是由y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$μ（x）与μ（x）=x²-5x+4复合而成，根据复合的两个函数同增则增，同减则增，一增一减则减，即可求出函数y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x²-5x+4）的单调区间．

解答 解：由μ（x）=x²-5x+4＞0，解得x＞4或x＜1，
所以x∈（-∞，1）∪（4，+∞），
因为函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x²-5x+4）是由y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$μ（x）与μ（x）=x²-5x+4复合而成，
函数y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$μ（x）在其定义域上是单调递减的，
函数μ（x）=x²-5x+4在（-∞，$\frac{5}{2}$）上为减函数，在[$\frac{5}{2}$，+∞]上为增函数．
考虑到函数的定义域及复合函数单调性，
y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x²-5x+4）的增区间是定义域内使y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$μ（x）为减函数、μ（x）=x²-5x+4也为减函数的区间，即（-∞，1）；
y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x²-5x+4）的减区间是定义域内使y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$μ（x）为减函数、μ（x）=x²-5x+4为增函数的区间，即（4，+∞）．

点评 本题考查复合函数的单调性，复合的两个函数同增则增，同减则增，一增一减则减，注意对数函数的定义域，考查学生发现问题解决问题的能力，是中档题．