Question

7．若函数$y=ln（ax+\sqrt{{x^2}+1}）（a＞0）$为奇函数，设变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≥0}\\{x-y-2≤0}\\{y≥1}\end{array}\right.$，则目标函数z=ax+2y的最小值为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，再由函数为奇函数求得a值，代入目标函数，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≥0}\\{x-y-2≤0}\\{y≥1}\end{array}\right.$作出可行域如图，

∵函数$y=ln（ax+\sqrt{{x^2}+1}）（a＞0）$为奇函数，
∴ln（$ax+\sqrt{{x}^{2}+1}$）+ln（-$ax+\sqrt{{x}^{2}+1}$）=ln（x²+1-a²x²）=0，
又a＞0，得a=1．
∴目标函数z=ax+2y=x+2y，化为y=$-\frac{x}{2}+\frac{z}{2}$．
由图可知，当直线y=$-\frac{x}{2}+\frac{z}{2}$过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为3．
故选：B．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．