Question

18．已知双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的离心率为$\sqrt{5}$，且点P（$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，0）到其渐近线的距离为8，则C的实轴长为（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 8
• D． 16

Answer 1

分析 运用双曲线的离心率公式和渐近线方程，以及点到直线的距离公式，结合a，b，c的关系式，解方程可得a的值，即可得到实轴长．

解答 解：由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$，a²+b²=c²，
渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
点P（$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，0）到其渐近线的距离为8，
即有P（c，0）到渐近线bx+ay=0的距离为8，
可得$\frac{|bc+0|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=8，即有b=8，
则a²+64=c²，
可得a=4，c=4$\sqrt{5}$，
则C的实轴长为8．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查点到直线的距离公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于基础题．