Question

2．如图，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率是$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）．设点A₁，B₁分别是椭圆的右顶点和上顶点，如图所示过 点A₁，B₁引椭圆C的两条弦A₁E、B₁F．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线A₁E与B₁F的斜率是互为相反数．
①求直线EF的斜率k₀ ②设直线EF的方程为y=k₀x+b（-1≤b≤1）设△A₁EF、△B₁EF的面积分别为S₁和S₂，求S₁+S₂的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意的离心率求得a与b关系，将（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）代入椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{4{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）①将直线方程分别代入椭圆方程，利用韦达定理求得E和F点坐标，根据直线的斜率公式，即可求得直线EF的斜率k₀；
②将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得丨EF丨，利用点到直线的距离公式则A₁，B₁到直线EF的距离d₁，d₂，利用三角形的面积公式及函数的单调性即可求得S₁+S₂的取值范围．

解答 解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则3a²=4c²，b²=a²-c²=$\frac{1}{4}$a²，即a²=4b²，
将（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）代入椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{4{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，则$\frac{3}{4{b}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1$，
解得：b²=1，a²=4，
椭圆C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）①设点E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），直线A₁E，y=k（x-2），直线B₁E：y=-kx+1，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y得：（4k²+1）x²-16k²x+16k²-4=0，则2x₁=$\frac{16{k}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$，x₁=$\frac{8{k}^{2}-2}{4{k}^{2}+1}$，
y₁=k（x₁-2）=$\frac{-4{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$，则E（$\frac{8{k}^{2}-2}{4{k}^{2}+1}$，$\frac{-4{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-k+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y整理得：（4k²+1）x²-8kx=0，x₂=$\frac{8k}{4{k}^{2}+1}$，
y₂=-kx₂+1=$\frac{1-4{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$，F（$\frac{8k}{4{k}^{2}+1}$，$\frac{1-4{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$），则k_EF=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，
②设直线EF：y=$\frac{1}{2}$x+b，联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+b}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y得：x²+2bx+2b²-2=0，
△=（-2b）2-4（2b²-2）=8-4b²＞0，解得：-$\sqrt{2}$＜b＜$\sqrt{2}$，
x₁+x₂=-2b，x₁x₂=2b²-2，丨EF丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$$\sqrt{8-4{b}^{2}}$，
设d₁，d₂分别为点A₁，B₁到直线EF的距离，则d₁=$\frac{丨1+b丨}{\sqrt{1+（\frac{1}{2}）^{2}}}$，d₂=$\frac{丨b-1丨}{\sqrt{1+（\frac{1}{2}）^{2}}}$，
则S₁+S₂=$\frac{1}{2}$•（d₁+d₂）丨EF丨=（丨b+1丨+丨b-1丨）$\sqrt{2-{b}^{2}}$，
∵-1≤b≤1时，
∴S₁+S₂=2$\sqrt{2-{b}^{2}}$，
由2$\sqrt{2-{b}^{2}}$∈[2，2$\sqrt{2}$]，
S₁+S₂∈[2，2$\sqrt{2}$]，
S₁+S₂的取值范围[2，2$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，点到直线的距离公式，考查函数的最值与椭圆的应用，考查计算能力，属于中档题．