Question

12．设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线交两渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，λμ=$\frac{4}{25}$（λ、μ∈R），则双曲线的离心率e的值是$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 由方程可得渐近线，可得A，B，P的坐标，由已知向量式可得λ+μ=1，λ-μ=$\frac{b}{c}$，解之可得λμ的值，由λμ=$\frac{4}{25}$可得a，c的关系，由离心率的定义可得．

解答 解：双曲线的渐近线为：y=±$\frac{b}{a}$x，
设焦点F（c，0），
则A（c，$\frac{bc}{a}$），B（c，-$\frac{bc}{a}$），P（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
∵$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，
∴（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$）=（（λ+μ）c，（λ-μ）$\frac{bc}{a}$），
∴λ+μ=1，λ-μ=$\frac{b}{c}$，解得λ=$\frac{c+b}{2c}$，μ=$\frac{c-b}{2c}$，
又由λμ=$\frac{4}{25}$，得得$\frac{c+b}{2c}$•$\frac{c-b}{2c}$=$\frac{4}{25}$，
解得$\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{16}{25}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{4}$．
故答案为：$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查双曲线的简单性质，涉及双曲线的渐近线方程和离心率的求解，考查运算能力，属中档题．