Question

20．已知函数f（x）是R上的奇函数，当x＞0时为减函数，且f（2）=0，则{x|f（x-2）＞0}=（　　）

• A． {x|0＜x＜2或x＞4}
• B． {x|x＜0或x＞4}
• C． {x|0＜x＜2或x＞2}
• D． {x|0＜x＜2或2＜x＜4}

Answer 1

分析 奇函数满足f（2）=0，可得f（-2）=-f（2）=0．对于不等式，当x-2＞0时，f（x-2）＞0=f（2），利用x∈（0，+∞）时，f（x）为减函数，可得0＜x-2＜2，当x-2＜0时，不等式化为f（x-2）＜0=f（-2），利用其单调性奇偶性可得0＜x＜2，即可得出．

解答 解：∵奇函数满足f（2）=0，
∴f（-2）=-f（2）=0．
对于{x|f（x-2）＞0}，当x-2＞0时，f（x-2）＞0=f（2），
∵x∈（0，+∞）时，f（x）为减函数，
∴0＜x-2＜2，
∴2＜x＜4．
当x-2＜0时，不等式化为f（x-2）＜0=f（-2），
∵当x∈（0，+∞）时，f（x）为减函数，
∴函数f（x）在（-∞，0）上单调递减，
∴-2＜x-2＜0，∴0＜x＜2．
综上可得：不等式的解集为{x|0＜x＜2或2＜x＜4}
故选D．

点评 本题考查了函数的奇偶性、单调性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．