Question

7．已知$\frac{tan（α-γ）}{tanα}$+$\frac{si{n}^{2}β}{si{n}^{2}α}$=1，求证：tan²β=tanαtanγ．

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式，化简等式的左边，可得结论．

解答 证明：∵已知$\frac{tan（α-γ）}{tanα}$+$\frac{si{n}^{2}β}{si{n}^{2}α}$=1，∴$\frac{sin（α-γ）cosα}{sinαcos（α-γ）}$+$\frac{{sin}^{2}β}{{sin}^{2}α}$=1，
∴sin²β=sin²α•[1-$\frac{sin（α-γ）cosα}{cos（α-γ）sinα}$]=sin²α•$\frac{cos（α-γ）sinα-sin（α-γ）cosα}{cos（α-γ）sinα}$=$\frac{{sin}^{2}αcos（α-γ）-sinαcosαsin（α-γ）}{cos（α-γ）}$ 
=sinα•$\frac{sin[α-（α-γ）]}{cos（α-γ）}$=$\frac{sinαsinγ}{cos（α-γ）}$=$\frac{sinαsinγ}{cosαcosγ+sinαsinγ}$．
∵tan²β=$\frac{{sin}^{2}β}{1{-sin}^{2}β}$=$\frac{\frac{sinαsinγ}{cosαcosγ+sinαsinγ}}{1-\frac{sinαsinγ}{cosαcosγ+sinαsinγ}}$=$\frac{sinαsinγ}{cosαcosγ}$=tanα•tanγ，
∴tan²β=tanαtanγ成立．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式的应用，属于中档题．