Question

3．如图，已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左右顶点分别是A（-$\sqrt{2}$，0），B（$\sqrt{2}$，0），离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．设点P（a，t）（t≠0），连接PA交椭圆于点C，坐标原点是O．
（Ⅰ）证明：OP⊥BC；
（Ⅱ）若三角形ABC的面积不大于四边形OBPC的面积，求|t|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a=$\sqrt{2}$，椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$，求得b，求得椭圆的标准方程，求得直线PA的方程，求得C点坐标，直线BC的斜率k_BC=-$\frac{\sqrt{2}}{t}$，直线OP的斜率k_BC=$\frac{t}{\sqrt{2}}$，则k_BC•k_BC=-1，则OP⊥BC；
（Ⅱ）分别求得三角形ABC的面积和四边形OBPC的面积，由题意即可求得|t|的最小值．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知：a=$\sqrt{2}$，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，则b=1，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，
设直线PA的方程y=$\frac{t}{2\sqrt{2}}$（x+$\sqrt{2}$），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=\frac{t}{2\sqrt{2}}（x+\sqrt{2}）}\end{array}\right.$，
整理得：（4+t²）x²+2$\sqrt{2}$t²x+2t²-8=0，
解得：x₁=-$\sqrt{2}$，x₂=$\frac{4\sqrt{2}-\sqrt{2}{t}^{2}}{4+{t}^{2}}$，则C点坐标（$\frac{4\sqrt{2}-\sqrt{2}{t}^{2}}{4+{t}^{2}}$，$\frac{4t}{4+{t}^{2}}$），
故直线BC的斜率k_BC=-$\frac{\sqrt{2}}{t}$，直线OP的斜率k_OP=$\frac{t}{\sqrt{2}}$，
∴k_BC•k_OP=-1，
∴OP⊥BC；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：四边形OBPC的面积S₁=$\frac{1}{2}$×丨OP丨×丨BC丨=$\frac{\sqrt{2}丨{t}^{2}+2t丨}{{t}^{2}+4}$，
则三角形ABC，S₂=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×$\frac{4丨t丨}{4+{t}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}丨t丨}{{4+t}^{2}}$，
由$\frac{4\sqrt{2}丨t丨}{{4+t}^{2}}$≤$\frac{\sqrt{2}丨{t}^{2}+2t丨}{{t}^{2}+4}$，整理得：t2+2≥4，则丨t丨≥$\sqrt{2}$，
∴丨t丨_min=$\sqrt{2}$，
|t|的最小值$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．