Question

18．已知直线l⊥平面α，垂足为O，三角形ABC的三边分别为BC=1，AC=2，AB=$\sqrt{5}$．若A∈l，C∈α，则BO的最大值为1+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先将原问题转化为平面内的最大距离问题解决，以O为原点，OA为y轴，OC为x轴建立直角坐标系，B、O两点间的距离表示处理，结合三角函数的性质求出其最大值即可．

解答 解：将原问题转化为平面内的最大距离问题解决，
以O为原点，OA为y轴，OC为x轴建立直角坐标系，如图．
设∠ACO=θ，B（x，y），则有：
x=ACcosθ+BCsinθ=2cosθ+sinθ，y=BCcosθ=cosθ．
∴x²+y²=4cos²θ+4sinθcosθ+1=2cos2θ+2sin2θ+3
=2$\sqrt{2}$sin（2θ+$\frac{π}{4}$）+3，
当sin（2θ+$\frac{π}{4}$）=1时，x²+y²最大，为2$\sqrt{2}$+3，
则B、O两点间的最大距离为1+$\sqrt{2}$．
故答案为1+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了点、线、面间的距离计算，解答关键是将空间几何问题转化为平面几何问题解决，利用三角函数的知识求最大值．