Question

13．在四边形ABCD中，对角线AC，BD垂直相交于点O，且OA=OB=OD=4，OC=3．
将△BCD沿BD折到△BED的位置，使得二面角E-BD-A的大小为90°（如图）．已知Q为EO的中点，点P在线段AB上，且$AP=\sqrt{2}$．
（Ⅰ）证明：直线PQ∥平面ADE；
（Ⅱ）求直线BD与平面ADE所成角θ的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明PR∥平面ADE，RQ∥平面ADE，可得平面PQR∥平面ADE，即可证明：直线PQ∥平面ADE；
（Ⅱ）由等体积法可得点O到平面ADE的距离，即可求直线BD与平面ADE所成角θ的正弦值．

解答 （Ⅰ）证明：如图，取OD的中点R，连接PR，QR，则DE∥RQ，
由题知$AB=4\sqrt{2}$，又$AP=\sqrt{2}$，故AB：AP=4：1=DB：DR，因此AD∥PR，
因为PR，RQ?平面ADE，
且AD，DE?平面ADE，故PR∥平面ADE，RQ∥平面ADE，
又PR∩RQ=R，
故平面PQR∥平面ADE，从而PQ∥平面ADE．…6分
（Ⅱ）解：由题EA=ED=5，$AD=4\sqrt{2}$，设点O到平面ADE的距离为d，
则由等体积法可得$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•4\sqrt{2}$$•\sqrt{25-8}•d=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•4•4•3$，
故$d=\frac{{6\sqrt{34}}}{17}$，因此$sinθ=\frac{d}{OD}=\frac{3}{34}\sqrt{34}$．…12分．

点评 本题考查线面平行的判定，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．