Question

17．已知函数f（x）=（ax+b）lnx-bx+3在（1，f（1））处的切线方程为y=2．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的极值．
（3）若g（x）=f（x）+kx在（1，3）是单调函数，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用切线方程求出b=1，求出导函数，转化求解f′（1）=1+a-1=0，推出a=0．
（2）求出f（x）=lnx-x+3的导函数f′（x）=$\frac{1}{x}$-1，通过当0＜x＜1时，当x＞1时，导函数的符号，判断函数的单调性求出极值．
（3）由g（x）=f（x）+kx，则g（x）=lnx+（k-1）x+3（x＞0）求出导函数，利用g（x）在x∈（1，3）上是单调函数求出函数的最值然后推出k的范围．

解答 解：（1）因为f（1）=（a+b）ln1-b+3=2，所以b=1；…（1分）
又f′（x）=$\frac{b}{x}$+alnx+a-b=$\frac{1}{x}$+alnx+a-1，…（3分）
而函数f（x）=（ax+b）lnx-bx+3在（1，f（1））处的切线方程为y=2，
所以f′（1）=1+a-1=0，所以a=0；…（4分）
（2）由（1）得f（x）=lnx-x+3，f′（x）=$\frac{1}{x}$-1，…（5分）
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0；   …（6分）
所以f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，…（7分）
所以f（x）有极大值f（1）=2，无极小值．
故f（x）的极大值为f（1）=2，无极小值； …（8分）
（3）由g（x）=f（x）+kx，则g（x）=lnx+（k-1）x+3（x＞0），
${g^'}（x）=\frac{1}{x}+k-1$，
又由g（x）在x∈（1，3）上是单调函数…（9分）
若g（x）为增函数时，有g（x）≥0
所以有${g^，}（x）=\frac{1}{x}+k-1≥0，即k≥1-\frac{1}{x}在x∈（1，3）上恒成立$，$又1-\frac{1}{x}∈（0，\frac{2}{3}）$，所以$k≥\frac{2}{3}$…（10分）
若g（x）为减函数时，有g（x）≤0
所以有${g^，}（x）=\frac{1}{x}+k-1≤0，即k≤1-\frac{1}{x}在x∈（1，3）上恒成立$，$又1-\frac{1}{x}∈（0，\frac{2}{3}）$，所以k≤0…（11分）
故综上$k∈（-∞，0]∪[\frac{2}{3}，+∞）$…（12分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的切线方程，函数的极值以及单调区间的求法，考查转化思想以及计算能力．