Question

17．已知a=$\frac{2}{π}\int_{-1}^1{（\sqrt{1-{x^2}}+sinx）dx}$，则二项式${（x-\frac{a}{x^2}）^9}$的展开式中的常数项为-84．

Answer 1

分析 根据定积分求出a的值，再利用二项式展开式的通项公式求出展开式中的常数项．

解答 解：a=$\frac{2}{π}\int_{-1}^1{（\sqrt{1-{x^2}}+sinx）dx}$
=$\frac{2}{π}$${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{1{-x}^{2}}$dx+$\frac{2}{π}$${∫}_{-1}^{1}$sinxdx
=$\frac{2}{π}$×$\frac{1}{2}$arcsinx${|}_{-1}^{1}$-$\frac{2}{π}$cosx${|}_{-1}^{1}$
=$\frac{2}{π}$×$\frac{1}{2}$×π
=1，
∴二项式${（x-\frac{a}{x^2}）^9}$=${（x-\frac{1}{{x}^{2}}）}^{9}$，
其展开式通项公式为：
T_r+1=${C}_{9}^{r}$•x^9-r•${（-\frac{1}{{x}^{2}}）}^{r}$
=（-1）^r•${C}_{9}^{r}$•x^9-3r，
令9-3r=0，解得r=3，
∴展开式中的常数项为
T₄=（-1）³•${C}_{9}^{3}$=-84．
故答案为：-84．

点评 本题考查了定积分与二项式展开式的通项公式应用问题，是综合题．