如图是一“T 型水渠的平面视图.水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形.南北向渠宽为4m.东西向渠宽$\sqrt{2}m$(从拐角处.即图中A.B处开始)．假定渠内的水面始终保持水平位置．(1)在水平面内.过点A的一条直线与水渠的内壁交于P.Q两点.且与水渠的一边的夹角为$θ$.将线段PQ的长度l表示为θ的函数,(2)若从南面漂来一根长为7m� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

6．

如图是一“T”型水渠的平面视图（俯视图），水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4m，东西向渠宽$\sqrt{2}m$（从拐角处，即图中A，B处开始）．假定渠内的水面始终保持水平位置（即无高度差）．
（1）在水平面内，过点A的一条直线与水渠的内壁交于P，Q两点，且与水渠的一边的夹角为$θ（0＜θ＜\frac{π}{2}）$，将线段PQ的长度l表示为θ的函数；
（2）若从南面漂来一根长为7m的笔直的竹竿（粗细不计），竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠（不会卡住）？请说明理由．

分析（1）求出PA，QA，即可将线段PQ的长度l表示为θ的函数；
（2）求导数，确定函数的单调性，即可得出结论．

解答解：（1）由题意，$PA=\frac{{\sqrt{2}}}{sinθ}$，$QA=\frac{4}{cosθ}$，
所以l=PA+QA，即$l=\frac{{\sqrt{2}}}{sinθ}+\frac{4}{cosθ}$（$0＜θ＜\frac{π}{2}$）．…（4分）
（2）设$f（θ）=\frac{{\sqrt{2}}}{sinθ}+\frac{4}{cosθ}$，$θ∈（0，\frac{π}{2}）$．
由$f'（θ）=-\frac{{\sqrt{2}cosθ}}{{{{sin}^2}θ}}+\frac{4sinθ}{{{{cos}^2}θ}}=\frac{{\sqrt{2}（2\sqrt{2}{{sin}^3}θ-{{cos}^3}θ）}}{{{{sin}^2}θ{{cos}^2}θ}}$，…（6分）
令f'（θ）=0，得$tan{θ_0}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$． …（8分）
且当θ∈（0，θ₀），f'（θ）＜0；当$θ∈（{θ_0}，\frac{π}{2}）$，f'（θ）＞0，
所以，f（θ）在（0，θ₀）上单调递减；在$（{θ_0}，\frac{π}{2}）$上单调递增，
所以，当θ=θ₀时，f（θ）取得极小值，即为最小值．…（10分）
当$tan{θ_0}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$时，$sin{θ_0}=\frac{1}{{\sqrt{3}}}$，$cos{θ_0}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}}}$，
所以f（θ）的最小值为$3\sqrt{6}$，…（12分）
即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为$3\sqrt{6}$m．
因为$3\sqrt{6}＞7$，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠．…（14分）

点评本题考查利用数学知识解决实际问题，考查三角函数模型，考查导数知识的运用，属于中档题．

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