Question

18．设函数y=f（x）在x₀处可导，f′（x₀）=a，若点（x₀，0）即为y=f（x）的图象与x轴的交点，则$\underset{lim}{n→+∞}$[nf（x₀-$\frac{1}{n}$）]等于（　　）

• A． +∞
• B． a
• C． -a
• D． 以上都不对

Answer 1

分析 根据f（x_o）=0可将 $\underset{lim}{n→∞}$[nf（xo-$\frac{1}{n}$）]等价变形为-$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{f（{x}_{0}-\frac{1}{n}）-f（{x}_{0}）}{-\frac{1}{n}}$，再结合f（x）在x_o处可导即可求解．

解答 解∵f（x_o）=0，
∴$\underset{lim}{n→∞}$nf（x_o-$\frac{1}{n}$）=-$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{f（{x}_{0}-\frac{1}{n}）-f（{x}_{0}）}{-\frac{1}{n}}$，
∵f（x）在x_o处可导，
∴$\underset{lim}{n→∞}$nf（x_o-$\frac{1}{n}$）=-$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{f（{x}_{0}-\frac{1}{n}）-f（{x}_{0}）}{-\frac{1}{n}}$=-$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{f{（x}_{0}+△x）-f{（x}_{0}）}{△x}$=-f′（x₀）=-a，
故选：C．

点评 本题主要考查极限及其运算．解题的关键是要将题中所述极限转化为-$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{f（{x}_{0}-\frac{1}{n}）-f（{x}_{0}）}{-\frac{1}{n}}$，再根据n→∞时-$\frac{1}{n}$→0再转化为-$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{f{（x}_{0}+△x）-f{（x}_{0}）}{△x}$，然后再结合f（x）在x_o处可导才可求解．此题充分活用了极限和可导的定义，技巧性较强，属中等难度的试题．