Question

13．（理科）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，则△ABC面积的最大值为$\sqrt{3}$．
（文科）已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²-9n+1，则a_n=$\left\{\begin{array}{l}{-7，n=1}\\{2n-10，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 （理科）由a=2，（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，利用正弦定理可得：b²+c²-a²=bc．利用余弦定理可得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，A∈（0，π）．解得A=$\frac{π}{3}$．由正弦定理可得：$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{2}{sin\frac{π}{3}}$．可得$b=\frac{4}{\sqrt{3}}sinB$，c=$\frac{4}{\sqrt{3}}sinC$．C=$\frac{2π}{3}$-B．求出bc的最大值即可得出．
（文科）数列{a_n}的前n项和S_n=n²-9n+1，n=1时，a₁=S₁=-7．n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得出．

解答 解：（理科）由a=2，（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，利用正弦定理可得：a²-b²=c²-bc，即b²+c²-a²=bc．
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，A∈（0，π）．
∴A=$\frac{π}{3}$．
由正弦定理可得：$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{2}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}$．
∴$b=\frac{4}{\sqrt{3}}sinB$，c=$\frac{4}{\sqrt{3}}sinC$．C=$\frac{2π}{3}$-B．
bc=$\frac{16}{3}$sinBsin（$\frac{2π}{3}$-B）=-$\frac{16}{3}$×$\frac{1}{2}[cos\frac{2π}{3}-cos（2B-\frac{2π}{3}）]$=$\frac{8}{3}cos（2B-\frac{2π}{3}）$+$\frac{4}{3}$．
B∈$（0，\frac{2π}{3}）$，$（2B-\frac{2π}{3}）$∈$（-\frac{2π}{3}，\frac{2π}{3}）$，
∴2B-$\frac{2π}{3}$=0，解得B=$\frac{π}{3}$．
此时bc取得最大值4．
则△ABC面积=$\frac{1}{2}bcsinA$的最大值为：$\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}$=$\sqrt{3}$．
（文科）数列{a_n}的前n项和S_n=n²-9n+1，n=1时，a₁=S₁=-7．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-9n+1-[（n-1）²-9（n-1）+1]=2n-10．
则a_n=$\left\{\begin{array}{l}{-7，n=1}\\{2n-10，n≥2}\end{array}\right.$．
故答案为：$\sqrt{3}$，$\left\{\begin{array}{l}{-7，n=1}\\{2n-10，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了解三角形、正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式、数列递推关系、数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．