Question

3．已知函数g（x）=2$\sqrt{3}$sinx•cosx+2cos²x+m在区间[0，$\frac{π}{2}$]的最大值为6
（1）求常数m的值；
（2）求函数y=g（-x）的递增区间．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大值，可得常数m的值．
（2）求解函数y=g（-x）的解析式化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；

解答 解：（1）函数g（x）=2$\sqrt{3}$sinx•cosx+2cos²x+m．
化解可得：$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+m+1$，
∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，
则$\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{7π}{6}$，
∴$-\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$．
∴$f（x）_{max}^{\;}=3+m=6$，
∴m=3．
（2）由（1）可知g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+4．
则$g（-x）=2sin（-2x+\frac{π}{6}）+4$=$2sin（2x+\frac{5}{6}π）+4$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{5}{6}π≤2kπ+\frac{π}{2}$，（k∈Z）
解得：$kπ-\frac{2}{3}π≤x≤kπ-\frac{π}{6}$，
∴增区间为$[kπ-\frac{2}{3}π，kπ-\frac{π}{6}]（k∈Z）$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．