Question

11．已知F是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦点，A是相应的顶点，P是y轴上的点，满足∠FPA=α，则双曲线的离心率的最小值为$\frac{1+sinα}{1-sinα}$．

Answer 1

分析 设F为双曲线的左焦点，且为（-c，0），左顶点A（-a，0），设|OP|=h，则tanα=tan（∠FPO-∠APO），运用两角差的正切公式，结合基本不等式，得到e的不等式解得e即可，再由同角公式化简即可得到．

解答 解：F为双曲线的左焦点，且为（-c，0），左顶点A（-a，0），
设|OP|=h，
则tanα=tan（∠FPO-∠APO）=$\frac{tan∠FPO-tan∠APO}{1+tan∠FPOtan∠APO}$
=$\frac{\frac{c}{h}-\frac{a}{h}}{1+\frac{ac}{{h}^{2}}}$=$\frac{c-a}{h+\frac{ac}{h}}$，
由于h+$\frac{ac}{h}$≥2$\sqrt{ac}$，当且仅当h=$\sqrt{ac}$时，取等号．
即有tanα≤$\frac{c-a}{2\sqrt{ca}}$，
即2tanα≤$\sqrt{\frac{c}{a}}$-$\sqrt{\frac{a}{c}}$，
即有2tanα≤$\sqrt{e}$-$\sqrt{\frac{1}{e}}$，即e-2$\sqrt{e}$tanα-1≥0，
即$\sqrt{e}$≥tanα+$\sqrt{1+ta{n}^{2}α}$，
即有e≥（$\frac{1+sinα}{cosα}$）²=$\frac{（1+sinα）^{2}}{co{s}^{2}α}$=$\frac{（1+sinα）^{2}}{1-si{n}^{2}α}$
=$\frac{1+sinα}{1-sinα}$．
当且仅当h=$\sqrt{ac}$时，e的最小值为$\frac{1+sinα}{1-sinα}$．
故答案为：$\frac{1+sinα}{1-sinα}$．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，考查基本不等式的运用，运用两角差的正切公式是解题的关键．