Question

2．四棱锥M-EFGH的直观图和三视图如下：

试根据三视图提供的数据和边角关系，解决如下问题：
（1）求证：MF⊥EG；
（2）求二面角M-GF-H的正切值．

Answer 1

分析 （1）证明EG⊥平面MHF，即可证明：MF⊥EG；
（2）过H作HA⊥FG，连接MA，则MA⊥FG，∠MAH为二面角M-GF-H的平面角，求出HA，即可求二面角M-GF-H的正切值．

解答 （1）证明：由三视图可得MH⊥平面EFGH，EFGH是菱形，
∴MH⊥EG，HF⊥EG，
∵MH∩HF=H，
∴EG⊥平面MHF，
∴MF⊥EG；
（2）解：过H作HA⊥FG，连接MA，则MA⊥FG，∠MAH为二面角M-GF-H的平面角．
∵△GHF是边长为3的等边三角形，
∴HA=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴二面角M-GF-H的正切值=$\frac{3}{\frac{3\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．