Question

14．设命题p：f（x）=lnx+x²+ax+1在（0，+∞）内单调递增，命题q：a≥-2，则p是q的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充分必要条件
• D． 既不充分又不必要条件

Answer 1

分析 求出函数的导数，问题转化为a≥-2x-$\frac{1}{x}$在（0，+∞）恒成立，令g（x）=-2x-$\frac{1}{x}$，根据函数的单调性求出a的范围即可，求出命题p为真时a的范围，根据集合的包含关系判断即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{1}{x}$+a+2x=$\frac{{2x}^{2}+ax+1}{x}$，（x＞0），
若f（x）在（0，+∞）递增，
则2x²+ax+1≥0在x∈（0，+∞）恒成立，
即a≥-2x-$\frac{1}{x}$在x∈（0，+∞）恒成立，
令g（x）=-2x-$\frac{1}{x}$，g′（x）=-2+$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{1-{2x}^{2}}{{x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，令g′（x）＜0，解得：x＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
g（x）在（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）递增，在（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）递减，
∴g（x）＜g（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=-2$\sqrt{2}$，
故a≥-2$\sqrt{2}$，
故命题p：a≥-2$\sqrt{2}$，命题q：a≥-2，
故p是q的必要不充分条件，
故选：B．

点评 本题考查了充分必要条件，考查函数恒成立问题，是一道中档题．