Question

9．已知函数f（x）=lnx+$\frac{1}{2}$ax²-（a+1）x（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上的最小值为-2，求a的值．
（Ⅲ）若对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用导数的几何意义可得切线的斜率f′（1），利用直线的点斜式方程，即可得到切线的方程；
（Ⅱ）利用导数研究函数的单调性，再对a分类讨论即可得出；
（Ⅲ）构造辅助函数，求导，由任意的x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂恒成立，只要g（x）在（0，+∞）上单调递增即可，利用研究函数g（x）的单调性和对a分类讨论即可得出．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，$f（x）=lnx+\frac{1}{2}{x^2}-2x，f'（x）=\frac{1}{x}+x-2$．
由$f'（1）=0，f（1）=-\frac{3}{2}$．
∴切线方程是$y=-\frac{3}{2}$．…（3分）
（Ⅱ）函数$f（x）=lnx+\frac{1}{2}a{x^2}-（a+1）x$的定义域是（0，+∞）．
当a＞0时，$f'（x）=\frac{1}{x}+ax-（a+1）=\frac{{a{x^2}-（a+1）x+1}}{x}（x＞0）$
令f'（x）=0，即$f'（x）=\frac{{a{x^2}-（a+1）x+1}}{x}=\frac{（x-1）（ax-1）}{x}=0$，
所以x=1或$x=\frac{1}{a}$．
当$0＜\frac{1}{a}≤1$，即a≥1时，f（x）在[1，e]上单调递增，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是$f（1）=-\frac{1}{2}a-1=-2$，解得a=2；
当$1＜\frac{1}{a}＜e$即$\frac{1}{e}＜a＜1$时，f（x）在[1，e]上的最小值是$f（\frac{1}{a}）=-lna-\frac{1}{2a}-1=-2$，即$lna+\frac{1}{2a}=1$
令$h（a）=lna+\frac{1}{2a}$，${h^'}（a）=\frac{1}{a}-\frac{1}{{2{a^2}}}=\frac{2a-1}{{2{a^2}}}=0，可得$$a∈（\frac{1}{e}，\frac{1}{2}）递减，a∈（\frac{1}{2}，1）递增$，
而$h（\frac{1}{e}）=-1+\frac{e}{2}＜1$，$h（1）=\frac{1}{2}＜1$，不合题意；
当$\frac{1}{a}≥e$即$0＜a＜\frac{1}{e}$时，f（x）在[1，e]上单调递减，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是$f（e）=1+\frac{1}{2}a{e^2}-（a+1）e=-2$，
解得$a=\frac{6-2e}{{2e-{e^2}}}＜0$，不合题意，
综上得：a=2．…（8分）
（Ⅲ）设g（x）=f（x）+x，则g（x）=lnx+$\frac{1}{2}$ax²-ax，
∵对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂恒成立，
∴只要g（x）在（0，+∞）上单调递增即可．
而g′（x）=ax-a+$\frac{1}{x}$=$\frac{a{x}^{2}-ax+1}{x}$，
当a=0时，g′（x）=$\frac{1}{x}$＞0，此时g（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a≠0时，只需g′（x）≥0，在（0，+∞）上恒成立，只要ax²-ax+1≥0，
则需要$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={a}^{2}-4a≤0}\end{array}\right.$，解得：0＜a≤4，
综上a的取值范围是[0，4]．

点评 本题考查导数的综合应用，导数的几何意义，利用导数求函数的切线方程，利用导数求函数的单调性，一元二次函数的性质，考查分析法证明不等式恒成立，考查转化思想，属于中档题．