Question

7．设数列{a_n}满足：${a_1}+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{2^2}+…+\frac{{{a_{n+1}}}}{2^n}=2n+2$（n∈N^*），且a₂=4．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}={log_{\sqrt{2}}}{a_n}$，求数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出．
（2）${b_n}={log_{\sqrt{2}}}{a_n}=2{log_2}{2^n}=2n$，${a_n}{b_n}=n×{2^{n+1}}$，再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）${a_1}+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{2^2}+…+\frac{{{a_{n+1}}}}{2^n}=2n+2⇒{a_1}+\frac{a_2}{2}=4⇒{a_1}=2$；
∵${a_1}+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{2^2}+…+\frac{{{a_{n+1}}}}{2^n}=2n+2$，
∴${a_1}+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{2^2}+…+\frac{a_n}{{{2^{n-1}}}}=2n$（n≥2），
∴$\frac{{{a_{n+1}}}}{2^n}=2⇒{a_{n+1}}={2^{n+1}}⇒{a_n}={2^n}（{n≥3}）$，经检验a₁=2，a₂=4满足上式，
∴${a_n}={2^n}$．
（2）${b_n}={log_{\sqrt{2}}}{a_n}=2{log_2}{2^n}=2n$，
∴${a_n}{b_n}=n×{2^{n+1}}$，
∴数列{a_nb_n}的前n项和S_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，
∴2S_n=2×2²+2×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ⁺¹+n×2ⁿ⁺²，
∴-S_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n×2ⁿ⁺²=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n×2ⁿ⁺²，
∴${S_n}=（{n-1}）•{2^{n+2}}+4$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．