Question

17．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是（-2，0），（2，0），椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于6，求椭圆的方程；
（2）椭圆的焦点为F₁（0，-5），F₂（0，5），点P（3，4）是椭圆上的一个点，求椭圆的方程．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的焦点在x轴上，c=2，根据椭圆的定义a=3，利用a与b和c之间的关系，即可求得椭圆的方程；
（2）由题意的焦点在y轴上，c=5，将点代入椭圆方程即可求得a和b的值，求得椭圆的方程．

解答 解：（1）由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），c=2，
椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于6，即2a=6，则a=3，
b²=a²-c²=5，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$；
（2）由题意可知：椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），c=5，
由a²=b²+c²=b²+25，
将P（3，4）代入椭圆方程：$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}+25}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$，解得：b²=15，
∴椭圆的方程$\frac{{y}^{2}}{40}+\frac{{x}^{2}}{15}=1$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查待定系数法求椭圆的标准方程，考查计算能力，属于中档题．