Question

6．已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且$\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AD}$=λ（0＜λ＜1）．
（1）求二面角A-BE-F的大小；
（2）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？

Answer 1

分析 （1）由已知中，∠BCD=90°，AB⊥平面BCD，我们易得到CD⊥平面ABC，又由E、F分别是AC、AD上的动点，且AE：AC=AF：AD=λ，λ∈（0，1）．故EF∥CD即EF⊥平面ABC，再由面面垂直的判定定理，即可得到答案．
（2）由（1）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，BE⊥平面ACD，BE⊥AC．故只须让所求λ的值能证明BE⊥AC即可．在△ABC中求出λ的值．

解答 解：（1）∵AB⊥平面BCD，CD?面BCD，∴AB⊥CD，
又∵CD⊥BC且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC．                
又∵$\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AD}$，∴EF∥CD，
∴EF⊥平面ABC，又EF?平面BEF，
∴平面BEF⊥平面ABC，∴二面角A-BE-F的大小为90⁰．   
（2）由（1）知，BE⊥EF，
若平面BEF⊥平面ACD，
又∵平面BEF∩平面ACD=EF
BE?平面BEF，则BE⊥平面ACD，…（6分）
∴BE⊥AC．              …（7分）
∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，
∴$BD=\sqrt{2}$，$AB=\sqrt{2}tan60°=\sqrt{6}$，
∴$AC=\sqrt{A{B^2}+B{C^2}}=\sqrt{7}$，
由AB²=AE•AC得$AE=\frac{6}{{\sqrt{7}}}$，∴$λ=\frac{AE}{AC}=\frac{6}{7}$，
故当$λ=\frac{6}{7}$时，平面BEF⊥平面ACD．

点评 本题考查了面面垂直的判定，考查三棱锥的体积的求法，在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直，属于中档题．