Question

16．设S_n为数列{a_n}的前n项和，给出如下数列：
①5，3，1，-1，-3，-5，-7，…；
②-14，-10，-6，-2，2，6，10，14，18，…．
（1）对于数列①，计算S₁，S₂，S₄，S₅；对于数列②，计算S₁，S₃，S₅，S₇．
（2）根据上述结果，对于存在正整数k，满足a_k+a_k+1=0的这一类等差数列{a_n}前n项和的规律，猜想一个正确的结论，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）直接求和，可得结论；
（2）a_k+a_k+1=0，2a₁=（1-2k）d，证明S_2k-n-S_n=0即可．

解答 解：（1）对于数列①S₁=5，S₂=8，S₄=8，S₅=5；②S₁=-14，S₃=-30，S₅=-30，S₇=-14；
（2）∵a_k+a_k+1=0，2a₁=（1-2k）d
S_2k-n-S_n=（2k-n）a₁+$\frac{（2k-n）（2k-n-1）}{2}$d-na₁-$\frac{n（n-1）}{2}d$
=$\frac{d}{2}$[（2k-n）（1-2k）+（2k-n）（2k-n-1）-（1-2k）n-n（n-1）]
=$\frac{d}{2}$[2k-4k²-n+2nk+4k²-2kn-2k-2nk+n²+n-n+2kn-n²+n]
=$\frac{d}{2}$•0=0

点评 本题考查数列求和，考查归纳推理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．