Question

14．在△ABC中，∠A=θ，D、E分别为AB、AC的中点，且BE⊥CD，则cos2θ的最小值为$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 不妨设C（2，0），B（x，y），A（0，0），根据$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{CD}$=0，可得${（x-\frac{5}{2}）}^{2}$+y²=$\frac{9}{4}$，故点B在此圆上．过点A作圆的切线，故当点B为切点时，∠A最大，即θ最大，故cosθ最小，从而求得cos2θ的最小值．

解答 解：△ABC中，∠A=θ，D、E分别为AB、AC的中点，且BE⊥CD，
如图所示，不妨设C（2，0），B（x，y），A（0，0），
∵AD=$\frac{1}{2}$AB，AE=$\frac{1}{2}$AC，∴E（1，0），D（$\frac{x}{2}$，$\frac{y}{2}$）．
∵BE⊥CD，∴$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{CD}$=（1-x，-y）•（$\frac{x}{2}$-2，$\frac{y}{2}$）=（1-x）（$\frac{x}{2}$-2）-y•$\frac{y}{2}$=-$\frac{1}{2}$[${（x-\frac{5}{2}）}^{2}$+y²-$\frac{9}{4}$]=0，
∴${（x-\frac{5}{2}）}^{2}$+y²=$\frac{9}{4}$，表示以（$\frac{5}{2}$，0）为圆心，半径等于$\frac{3}{2}$的圆，故点B在此圆上．
过点A作圆的切线，故当点B为切点时，∠A最大，即θ最大，故cosθ=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{\frac{3}{2}}{2}$=$\frac{3}{4}$最小，
则cos2θ的最小值为2cos²θ-1=2×$\frac{9}{16}$-1=$\frac{1}{8}$，
故答案为：$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系、向量垂直与数量积的关系、点到直线的距离公式、同角三角函数基本关系式，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．