Question

已知函数f（x）=

2

3

x³-（2m+1）x²-6m（m-1）x+1，x∈R．
（1）当m=-1时，求函数y=f （x） 在[-1，5]上的单调区间和最值；
（2）设f′（x） 是函数y=f （x） 的导数，当函数y=f′（x） 的图象在（-1，5）上与x轴有唯一的公共点时，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求原函数的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可求得最值；
（2）将题中条件：“函数f′（x）的图象与x轴在（-1，5）上只有一个公共点，”等价于“函数y=f′（x）的图象与x轴的公共点的横坐标就是二次方程x²-（2m+1）x-3m（m-1）=0的实数根”，利用二次函数根的分布即可求得结果．

解答：解（1）当m=-1时，f（x）=

2

3

x³+x²-12x+1，
∴f′（x）=2x²+2x-12=2（x+3）（x-2）的两个根为x=-3或x=2，
只有x=2在[-1，5]上，所以f（x）在[-1，2]上单调递减，在[2，5]上单调递增．
又f（-1）=

40

3

，f（2）=-

41

3

，f（5）=

148

3

．（4分）

故函数y=f（x）在[-1，5]上的最大值为

148

3

，最小值为-

41

3

．（6分）
（2）由已知有f′（x）=2x²-2（2m+1）x-6m（m-1），x∈R．
函数y=f′（x）的图象与x轴的公共点的横坐标就是二次方程
x²-（2m+1）x-3m（m-1）=0的实数根，解得x₁=3m，x₂=1-m．
①当x₁=x₂时，有3m=1-m?m=

1

4

，此时x₁=x₂=

3

4

∈（-1，5）为所求．（8分）
②当x₁≠x₂时，令H（x）=x²-（2m+1）x-3m（m-1），则函数y=f′（x）的图象在（-1，5）上与x轴有唯一的公共点?H（-1）•H（5）≤0，而H（-1）=-3m²+5m+2，H（5）=-3m²-7m+20，（9分）
所以（-3m²+5m+2）（-3m²-7m+20）≤0，
即（m-2）（3m+1）（m+4）（3m-5）≤0，
解得-4≤m≤-

1

3

或

5

3

≤m≤2．（10分）
经检验端点，当m=-4和m=2时，不符合条件，舍去．
综上所述，实数m的取值范围是m=

1

4

或-4＜m≤-

1

3

或

5

3

≤m＜2．（12分）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，转化思想．