(本小题满分14分)已知中心在坐标原点O,焦点在轴上,长轴长是短轴长的2倍的椭圆经过点M(2,1)
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)直线平行于,且与椭圆交于A、B两个不同点.
(ⅰ)若为钝角,求直线在轴上的截距m的取值范围;
(ⅱ)求证直线MA、MB与x轴围成的三角形总是等腰三角形.
(1) (2) (3) 根据直线MA、MB的倾斜角互补,来在证明直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.
解析试题分析:解:(Ⅰ)设椭圆方程为,
则 解得
∴椭圆的方程为. ………………………… 4分
(Ⅱ)(ⅰ)由直线平行于OM,得直线的斜率,
又在轴上的截距为m,所以的方程为.
由 得.
又直线与椭圆交于A、B两个不同点,
,于是. ……………… 6分
为钝角等价于且,
设,
,
由韦达定理,代入上式,
化简整理得,即,故所求范围是.
……………………………………………8分
(ⅱ)依题意可知,直线MA、MB的斜率存在,分别记为,.
由,. ……………………………… 9分
而
.
所以 , 故直线MA、MB的倾斜角互补,
故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.…………………… 14分
考点:本试题考查了椭圆的方程和直线与椭圆的位置关系。
点评:对于解决解析几何的方程问题,一般都是利用其性质得到a,b,c的关系式,然后求解得到,而对于直线与椭圆的位置关系,通常利用设而不求的数学思想,结合韦达定理,以及判别式来分析求解。尤其关注图形的特点与斜率和向量之间的关系转换,属于难度题。
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(本小题满分12分)
已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1),平行于OM的直线在轴上的截距为,交椭圆于A、B两个不同点.
(1)求椭圆的方程;
(2)求m的取值范围;
(3)求证直线MA、MB与轴始终围成一个等腰三角形.
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(12分) 已知在抛物线上,的重心与此抛物线的焦点F重合。
⑴ 写出该抛物线的标准方程和焦点F的坐标;
⑵ 求线段BC的中点M的坐标;
⑶ 求BC所在直线的方程。
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(本小题满分12分)
已知点F( 1,0),与直线4x+3y + 1 =0相切,动圆M与及y轴都相切. (I )求点M的轨迹C的方程;(II)过点F任作直线l,交曲线C于A,B两点,由点A,B分别向各引一条切线,切点 分别为P,Q,记.求证是定值.
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已知动点到的距离比它到轴的距离多一个单位.
(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;
(Ⅱ)过点作曲线的切线,求切线的方程,并求出与曲线及轴所围成图形的面积.
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已知抛物线及点,直线的斜率为1且不过点P,与抛物线交于A,B两点。
(1) 求直线在轴上截距的取值范围;
(2) 若AP,BP分别与抛物线交于另一点C,D,证明:AD、BC交于定点。
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已知抛物线:的焦点为,、是抛物线上异于坐标原点的不同两点,抛物线在点、处的切线分别为、,且,与相交于点.
(1) 求点的纵坐标;
(2) 证明:、、三点共线;
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已知点P(4,4),圆C:与椭圆E:有一个公共点A(3,1),F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,直线PF1与圆C相切.
(1)求m的值与椭圆E的方程;
(2)设Q为椭圆E上的一个动点,求的取值范围.
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(本小题满分12分)椭圆:的左、右焦点分别为,焦距为2,,过作垂直于椭圆长轴的弦长为3.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若过的直线l交椭圆于两点.并判断是否存在直线l使得的夹角为钝角,若存在,求出l的斜率k的取值范围。
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