Question

一个棱锥的底面是边长为a的正三角形，它的一个侧面也是正三角形，且这个侧面与底面垂直，求这个棱锥的体积和全面积．

Answer 1

解：如图所示，平面ABC⊥平面BCD，△ABC与△BCD均为边长为a的正三角形，
取BC中点E，连接AE，则AE⊥平面BCD，
故棱锥A-BCD的高为AE，△BCD的面积为a²，AE=a，
∴这个棱锥的体积V_A-BCD=•a²•a=a³．
连接DE，∵AE⊥平面BCD，DE?平面BCD，∴AE⊥DE，
在Rt△AED中，AE=ED=a，
∴AD=•a=a．
取AD中点F，连接CF，则CF⊥AD．
在Rt△CDF中，DF=•a=a，
∴CF=a．
∴S_△ACD=AD•CF=a×a=a²．
∵△ABD≌△ACD，S_△ABD=a²．
故S_全面积=a²+a²+2×a²=a²．
分析：棱锥的侧面积等于三个侧面的面积的和，体积利用V=S_△BCD×AE即可求解．
点评：本题考查棱锥的侧面积和体积，考查空间想象能力，考查学生的计算能力，属于中档题．