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    对于每项均是正整数的数列A:a1,a2,…,an,定义变换T1，T1将数列A变换成数列T1A．：n,a1-1,a2-1,…,an-1.

    对于每项均是非负整数的数列B：b1,b2, …,bm,定义变换T2，T2将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2（B）：又定义

    S（B）=2（b1+2b2+…+mbm）+b21+b22+…+b2m. 

    设A0是每项均为正整数的有穷数列，令Ak+1=T2(T1(Ak))(k=0,1,2, …)

    （Ⅰ）如果数列A0为5，3，2，写出数列A1,A2；

    （Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S（T1A．）=SA．；

    （Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0，存在正整数K，当k≥K时，S(Ak+1)=S(Ak).

    （Ⅰ）解：A0：5,3,2,   T1(A0):3,4,2,1

                   A1=T2(T1(A0)):4,3,2,1;   T2(A1):4,3,2,1,0 

                   A2=T2(T1(A1)):4,3,3,1. 

    （Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列A为a1,a2, …,an，

    则为n,a1-1,a2-1,…,an-1,

    从而

                               

    　　又

    所以

    ＝

           故

    （Ⅲ）证明：设A是每项均为非负整数的数列a1,a2, …，an.

    当存在，使得ai≤aj时，交换数列A的第i项与第j项得到数列B.则

           ＝2

    当存在1≤m＜n,使得时，

    若记数列为C，则.

    所以

    从而对于任意给定的数列A0，由

    可知

    又由（Ⅱ）可知，所以.

    即对于N,要么有S(Ak+1)=S(Ak)，要么有-1.

    因为S(Ak)是大于2的整数，所以经过有限步后，必有

    即存在正整数K，当k≥K时，

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    21、对于每项均是正整数的数列A：a1，a2，…，an，定义变换T1，T1将数列A变换成数列T1（A）：n，a1-1，a2-1，…，an-1．
    对于每项均是非负整数的数列B：b1，b2，…，bm，定义变换T2，T2将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2（B）；
    又定义S（B）=2（b1+2b2+…+mbm）+b12+b22+…+bm2．设A0是每项均为正整数的有穷数列，令Ak+1=T2（T1（Ak））（k=0，1，2，…）．
    （Ⅰ）如果数列A0为5，3，2，写出数列A1，A2；
    （Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S（T1（A））=S（A）；
    （Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0，存在正整数K，当k≥K时，S（Ak+1）=S（Ak）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2009•崇明县二模）对于每项均是正整数的数列A：a1，a2，…，an，定义变换T1，T1将数列A变换成数列T1（A）：n，a1-1，a2-1，…，an-1；对于每项均是非负整数的数列B：b1，b2，…，bm，定义变换T2，T2将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2（B）；设A0是每项均为正整数的有穷数列，令Ak+1=T2（T1（Ak））（k=0，1，2，…）．如果数列A0为4，2，1，则数列A1为
    A2为3，3，1
    A2为3，3，1
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    20．（本小题共13分）

    对于每项均是正整数的数列，定义变换，将数列变换成数列

    ．

    对于每项均是非负整数的数列，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；

    又定义．

    设是每项均为正整数的有穷数列，令．

    （Ⅰ）如果数列为5，3，2，写出数列；

    （Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列，证明；

    （Ⅲ）证明对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，．

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    科目：高中数学 来源：2009年上海市崇明县高考数学二模试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

    对于每项均是正整数的数列A：a1，a2，…，an，定义变换T1，T1将数列A变换成数列T1（A）：n，a1-1，a2-1，…，an-1；对于每项均是非负整数的数列B：b1，b2，…，bm，定义变换T2，T2将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2（B）；设A是每项均为正整数的有穷数列，令Ak+1=T2（T1（Ak））（k=0，1，2，…）．如果数列A为4，2，1，则数列A1为    ．

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