Question

在四棱锥P-ABCD中，AD⊥AB，CD∥AB∥MN，PD⊥底面ABCD，，直线PA与底面ABCD成60°角，点M，N分别是PA、PB的中点．
（Ⅰ）求二面角P-MN-D的大小；
（Ⅱ）当的值为多少时，∠CND为直角？

Answer 1

解：（Ⅰ）∵PD⊥面ABCD，AB?面ABCD，
∴AB⊥PD，又AB⊥AD，∴AB⊥面PAD．
又MN是△PAB的中位线，∴MN∥AB，从而MN⊥面PAD，
∴∠PMD为二面角P-MN-D的平面角，
由已知，在Rt△PAD中，易证：∠PAD=60°，而M是PA的中点，
∴∠PMD=120°．
即所求二面角P-MN-D的大小为120°．

（Ⅱ）令，不妨设AD=2，则，CD=X，AB=4X．
以D为原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则
D（0，0，0），N（1，2，），C（0，4x，0），
∴（1，2，），（1，2-4x，），
若∠CND为直角，则必有，
即
于是有，解得x=1．
∴当时，∠CND为直角．
分析：（I）由题意利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，在利用二面角的概念得到二面角的平面角即可得；
（II）由题意利用题中的条件及图形建立空间直角坐标系，设出比例值为x，利用空间向量的知识建立未知量的方程进而求解．
点评：此题重点考查了学生的空间想象能力，线面垂直的判定，利用二面角的概念求出二面角的平面角比求出二面角的大小；此外还考查了利用空间向量的知识及方程的思想求解．