Question

若关于的方程的三个根可分别作为一个椭圆、双曲线、抛物线的离心率，则的取值范围为         ． 

Answer 1

试题分析：令f（x）=x³+ax²+bx+c
∵抛物线的离心率为1，∴1是方程f（x）=x³+ax²+bx+c=0的一个实根
∴a+b+c=-1
∴c=-1-a-b代入f（x）=x³+ax²+bx+c，
可得f（x）=x³+ax²+bx-1-a-b=（x-1）（x²+x+1）+a（x+1）（x-1）+b（x-1）=（x-1）[x²+（a+1）x+1+a+b]
设g（x）=x²+（a+1）x+1+a+b，则g（x）=0的两根满足0＜x₁＜1，x₂＞1
∴g（0）=1+a+b＞0，g（1）=3+2a+b＜0
作出可行域，如图所示

的几何意义是区域内的点与原点连线的斜率，
∴-2≤＜-故答案为：-2≤＜-
点评：解题的关键是根据条件来写出不等式组，然后结合规划知识来得到。涉及到了函数的根的分布，多项式恒等等知识．属中档题。