Question

12．如图，在边长为a的菱形ABCD中，PC⊥面ABCD，E，F是PA和AB的中点．
（1）求证：EF∥平面PBC；
（2）求BD⊥面PAC．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的中位线，证明直线与直线平行，利用直线与平面平行的判定定理证明即可．
（2）连接AC交BD于点O，证明AC⊥BD，BD⊥PC，即可证明BD⊥面PAC．

解答 （1）证明：∵AE=PE，AF=BF，EF是三角形ABP的中位线，
∴EF∥PB，
又 EF?平面PBC，PB?平面PBC，
故 EF||平面PBC．

（2）证明：连接AC交BD于点O，
因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，

又因为PC⊥面ABCD，
所以BD⊥PC，又AC∩PC=C
所以BD⊥面PAC．

点评 本题考查直线与平面平行于垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．