Question

定义在[-1，1]上的奇函数f（x），已知当x∈[-1，0]时，f（x）=

1

4x

-

a

2x

（a∈R）
（Ⅰ）求f（x）在[0，1]上的最大值；
（Ⅱ）若f（x）是[0，1]上的增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出f（x）在[0，1]上的解析式，再换元，利用配方法，分类讨论，可求函数的最大值；
（Ⅱ）求导数，利用f′（x）≥0在[0，1]上恒成立，在利用分离参数法，即可求实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]
∵当x∈[-1，0]时，f（x）=

1

4x

-

a

2x

（a∈R）
∴f（-x）=

1

4-x

-

a

2-x

=4^x-a•2^x
∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）=-4^x+a•2^x（x∈[0，1]）
 令t=2^x，t∈[1，2]，则g（t）=at-t²=-（t-

a

2

）²+

a2

4

当

a

2

≤1，即a≤2时，g（t）_max=g（1）=a-1；
当1＜

a

2

＜2，即2＜a＜4时，g（t）_max=g（

a

2

）=

a2

4

；
当a≥4时，g（t）_max=g（2）=2a-4
综上，当a≤2时，f（x）的最大值为a-1；当2＜a＜4时，f（x）的最大值为

a2

4

；当a≥4时，f（x ）的最大值为2a-4．
（Ⅱ）因为函数f（x）在0，1上是增函数，
所以f′（x）=2^xln2（a-2•2^x）≥0
∴a-2•2^x≥0恒成立
∴a≥2•2^x
∵x∈[0，1]，∴2^x∈[1，2]
∴a≥4．

点评：本题考查函数解析式的确定，考查函数的最值，考查函数的单调性，考查导数知识的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．